Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+mx+n有兩個零點﹣1與3．
（1）求出函數(shù)f（x）的解析式，并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若g（x）=f（|x|）在x1 ， x2∈[t，t+1]是增函數(shù)，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=x2+mx+n有兩個零點﹣1與3，由韋達定理，可得：m=﹣2，n=﹣3，

故得函數(shù)f（x）的解析式f（x）=x2﹣2x﹣3，

解析式化簡得f（x）=（x﹣1）2﹣4．

對稱軸x=1，

∴f（x）的增區(qū)為（1，+∞）

（2）解：∵g（x）=f（|x|），由（1）得f（x）=x2﹣2x﹣3

∴g（x）=x2﹣2|x|﹣3

畫g（x）的圖象如下：

由圖象可知：[﹣1，0]和[1，+∞）是單調(diào)遞增區(qū)間；

∵函數(shù)g（x）要使[t，t+1]是增函數(shù)，

由圖觀察可得：t=﹣1或t≥1．

故得實數(shù)t的取值范圍是{t|t=﹣1或t≥1}．

【解析】（1）函數(shù)有兩個零點﹣1與3，由韋達定理可求解m，n的值，可得函數(shù)f（x）的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得單調(diào)性．（2）求出g（x）的解析式，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合可求得t的取值范圍．
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較才能得出正確答案．