Question

（1+2x²）（x-

1

x

）⁸的展開式中常數(shù)項為

 

．

Answer 1

分析：將問題轉(zhuǎn)化成(x-

1

x

)8的常數(shù)項及含x^-2的項，利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為0，-2求出常數(shù)項及含x^-2的項，進而相加可得答案．

解答：解：先求(x-

1

x

)8的展開式中常數(shù)項以及含x^-2的項；
Tr+1=

C

r 8

x8-r(-

1

x

)r=

C

r 8

(-1)rx8-2r
由8-2r=0得r=4，由8-2r=-2得r=5；
即(x-

1

x

)8的展開式中常數(shù)項為C₈⁴，
含x^-2的項為C₈⁵（-1）⁵x^-2
∴(1+2x2)(x-

1

x

)8的展開式中常數(shù)項為C₈⁴-2C₈⁵=-42
故答案為-42

點評：本題考查數(shù)學(xué)的等價轉(zhuǎn)化能力及利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．