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如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點為F,過點F的直線交橢圓于A,B兩點.|AF|的最大值是M,|BF|的最小值是m,滿足M•m=
3
4
a2
(1)求該橢圓的離心率;
(2)設線段AB的中點為G,AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D,E兩點,O是坐標原點.記△GFD的面積為S1,△OED的面積為S2,求
S1
S2
的取值范圍.
考點:直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)設F(-c,0)(c>0),利用橢圓性質得M=a+c,m=a-c,通過M•m=
3
4
a2.推出a=2c,即可求該橢圓的離心率;
(2)求出橢圓的方程為
x2
4c2
+
y2
3c2
=1
.判斷直線AB的斜率一定存在且不為零,設直線AB的方程為y=k(x+c),設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立
y=k(x+c)
x2
4c2
+
y2
3c2
=1
,利用韋達定理求出G的坐標,通過DG⊥AB,化簡D的橫坐標,通過Rt△FGD與Rt△EOD相似,即可求
S1
S2
的取值范圍.
解答: (本小題滿分12分)
解:(1)設F(-c,0)(c>0),則根據橢圓性質得M=a+c,m=a-c,
M•m=
3
4
a2
,所以有a2-c2=
3
4
a2
,
即a2=4c2,a=2c,
因此橢圓的離心率為e=
c
a
=
1
2
.(4分)
(2)由(1)可知a=2c,b=
a2-c2
=
3
c
,
橢圓的方程為
x2
4c2
+
y2
3c2
=1

根據條件直線AB的斜率一定存在且不為零,
設直線AB的方程為y=k(x+c),
并設A(x1,y1),B(x2,y2),
則由
y=k(x+c)
x2
4c2
+
y2
3c2
=1
消去y并整理得(4k2+3)x2+8ck2x+4k2c2-12c2=0
從而有x1+x2=-
8ck2
4k2+3
,y1+y2=k(x1+x2+2c)=
6ck
4k2+3
,(6分)
G(-
4ck2
4k2+3
3ck
4k2+3
)

因為DG⊥AB,所以
3ck
4k2+3
-
4ck2
4k2+3
-xD
•k=-1
,xD=-
ck2
4k2+3

由Rt△FGD與Rt△EOD相似,
所以
S1
S2
=
GD2
OD2
=
(-
4ck2
4k2+3
+
ck2
4k2+3
)
2
+(
3ck
4k2+3
)
2
(-
ck2
4k2+3
)
2
=9+
9
k2
>9
.(12分)
點評:本小題考查橢圓的離心率的有關運算,直線和橢圓的綜合應用,考查學生的邏輯思維能力和運算求解能力.
練習冊系列答案
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2x
x+2
-
3
x-2
=2.

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1
2
,P(B)=
2
3
,則P(
AB
)=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

關于函數f(x)=2sin(3x-
4
),有下列命題:
①其最小正周期是
3

②其圖象可由y=2sin3x的圖象向左平移
π
4
個單位得到;
③其表達式可改寫為y=2cos(3x-
π
4
);
④在x∈[
π
12
12
]上為增函數.
其中正確的命題的序號是:
 

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