如圖，拋物線y=x2上有一點(diǎn)A（a，a2），a∈（0，1），過點(diǎn)A引拋物線的切線l分別交x軸與直線x=1于B，C兩點(diǎn)，直線x=1交x軸于點(diǎn)D．
（1）求切線l的方程；
（2）求圖中陰影部分的面積S（a），并求a為何值時(shí)，S（a）有最小值？
精英家教網(wǎng)
（1）∵y=x2，∴y'=2x，
∴切線l的方程是y-a2=2a（x-a），即2ax-y-a2=0；
（2）由2ax-y-a2=0，令y=0，解得x=
a
2
，∴B(
a
2
，0)；
令x=1，解得y=2a-a2；
∴|BD|=1-
a
2
，|CD|=2a-a2，
∴S△BCD=
1
2
|BD||CD|=
1
4
(a3-4a2+4a)．
∴S(a)=
∫10
x2dx-S△BCD=
1
3
-
1
4
(a3-4a2+4a)．
∴S′(a)=-
1
4
(3a2-8a+4)=-
1
4
(a-2)(3a-2)．
令S'（a）=0，∵a∈（0，1），∴a=
2
3
．
當(dāng)a∈(0，
2
3
)時(shí)，S'（a）＜0；
當(dāng)a∈(
2
3
，1)時(shí)，S'（a）＞0．
∴a=
2
3
時(shí)，S（a）有最小值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，將線段OA的n等分點(diǎn)從左至右依次記為P1，P2，…，Pn-1，過這些分點(diǎn)分別作x軸的垂線，與拋物線的交點(diǎn)依次為Q1，Q2，…，Qn-1，從而得到n-1個直角三角形△Q1OP1，△Q2P1P2，…，△Qn-1Pn-2Pn-1．當(dāng)n→∞時(shí)，這些三角形的面積之和的極限為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y=x2上有一點(diǎn)A（a，a2），a∈（0，1），過點(diǎn)A引拋物線的切線l分別交x軸與直線x=1于B，C兩點(diǎn)，直線x=1交x軸于點(diǎn)D．
（1）求切線l的方程；
（2）求圖中陰影部分的面積S（a），并求a為何值時(shí)，S（a）有最小值？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y=x2第一象限部分上的一系列點(diǎn)Ai（i=1，2，3，…，n，…）與y正半軸上的點(diǎn)B1及原點(diǎn)，構(gòu)成一系列正三角形AiBi-1Bi（記B0為O），記ai=|AiAi+1|．
（1）求a1，a2的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（3）求證：
1
a
2
1
+
1
a
2
2
+
1
a
2
n
+…+
1
a
2
n
＜
9
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•西城區(qū)一模）如圖，拋物線y=-x2+9與x軸交于兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C，D在拋物線上（點(diǎn)C在第一象限），CD∥AB．記|CD|=2x，梯形ABCD面積為S．
（Ⅰ）求面積S以x為自變量的函數(shù)式；
（Ⅱ）若
|CD||AB|
≤k，其中k為常數(shù)，且0＜k＜1，求S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

14.如圖，拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，將線段OA的n等分點(diǎn)從左至右依次記為P1,P2,…,Pn-1,過這些分點(diǎn)分別作x軸的垂線，與拋物線的交點(diǎn)依次為Q1，Q2，…，Qn-1，從而得到n-1個直角三角形

△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,當(dāng)n→∞時(shí)，這些三角形的面積之和的極限為                  .



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