Question

已知圓C：x²+y²=2，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．圓C上任意一點(diǎn)A在x軸上的射影為點(diǎn)B，已知向量

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

(t∈R，t≠0)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程；
（2）當(dāng)t=

2

2

時(shí)，過點(diǎn)S（0，-

1

3

）的動(dòng)直線l交軌跡E于A，B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過T點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

，可得坐標(biāo)之間的故選，利用代入法，可求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程；
（2）先判斷所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1），再證明．直線l不垂直于x軸，可設(shè)出直線方程，與圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理，推斷TA⊥TB，即可得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（1，0）．

解答：解：（1）設(shè)Q（x，y），A（x₀，y₀），B（x₀，0）．
∵

OQ

=t

OA

+(1-t)

OB

，∴（x，y）=t（x₀，y₀）+（1-t）（x₀，0）=（x₀，ty₀），
∴

x0=x y0= 1 t y

．
又A（x₀，y₀）在圓x²+y²=2上，
∴軌跡E的方程為x2+

y2

t2

=2，即

x

2

2+

y2

2t2

=1…．…（4分）
（2）當(dāng)t=

2

2

時(shí)，軌跡E的方程為

x

2

2+y2=1
（ⅰ）當(dāng)l與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x2+(y+

1

3

)2=

16

9

（ⅱ）當(dāng)l與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x²+y²=1
聯(lián)立解得兩圓相切于點(diǎn)（0，1），．…..…（6分）
因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）．
事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)，證明如下：
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓x²+y²=1過點(diǎn)T（0，1）．
若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l的方程為y=kx-

1

3

，
代入橢圓方程，消去y得（18k²+9）x²-12kx-16=0．
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
又∵

TA

=（x₁，y₁-1），

TB

=（x₂，y₂-1），
∴

TA

•

TB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+（kx₁-

1

3

）（kx₂-

1

3

）
=（1+k²）x₁x₂-

1

3

k（x₁+x₂）+

1

9

=（1+k²）•

-16

18k2+9

-

1

3

k•

-12k

18k2+9

+

1

9

=0，
∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1），
綜上，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件..…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的綜合問題，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．