【題目】如圖，在直棱柱中，，，，分別是棱，上的點，且平面．

（1）證明：；

（2）若為中點，求直線與直線所成角的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

解法1：（1）以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．

設(shè)，，求出相應點的坐標，利用空間向量共線的定義求解即可；

（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可.

解法2：（1）利用線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合平行線公理進行證明即可；

（2）延長到，使，連接，．利用平行四邊形有判定定理、平行四邊形的性質(zhì)可以證明出．所以 直線與直線所成角．利用余弦定理進行求解即可.

解法1：（1）如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系．

設(shè)，，則，，，，，．

所以，，所以，與共線．

因為平面，所以．

（2）因為為中點，所以為中點，故，于是，．

所以，

因此直線與直線所成角的余弦值為．

解法2：（1）因為平面，平面，平面平面，所以．

在直棱柱中，，所以．

（2）延長到，使，連接，．則，，

四邊形是平行四邊形，所以．故 直線與直線所成角．

設(shè)，則，．因為為中點，所以為中點，故．

因為，所以，因此．

在中，．所以直線與直線所成角的余弦值為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，為圓的直徑，點在圓上，，矩形所在平面和圓所在的平面互相垂直，已知．

（1）求證：平面平面；

（2）求四棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年是扶貧的關(guān)鍵年，作為產(chǎn)業(yè)扶貧的電商扶貧將會迎來更多的政策或扶持．京東、阿里、拼多多、抖音、蘇寧等互聯(lián)網(wǎng)公司都紛紛加入電商扶貧．城鄉(xiāng)各地區(qū)都展開農(nóng)村電商培訓，如對電商團隊、物流企業(yè)、返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)群體、普通農(nóng)戶等進行培訓．某部門組織A、B兩個調(diào)查小組在開展電商培訓之前先進行問卷調(diào)查，從獲取的有效問卷中，針對25至55歲的人群，接比例隨機抽取400份，進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，具體情況如下表：

A組統(tǒng)計結(jié)果

B組統(tǒng)計結(jié)果

參加電商培訓

不參加電商培訓

參加電商培訓

不參加電商培訓

50

25

45

20

35

43

30

32

20

60

20

20

（1）先用分層抽樣的方法從400人中按“年齡是否達到45歲”抽出一個容量為80的樣本，將“年齡達到45歲”的被抽個體分配到“參加電商培訓”和“不參加電商培訓”中去。

①這80人中“年齡達到45歲且參加電商培訓”的人數(shù)；

②調(diào)查組從所抽取的“年齡達到45歲且參加電商培訓”的人員中抽取3人，安排進入抖音公司參觀學習，求這3人恰好是A組的人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望；

（2）從統(tǒng)計數(shù)據(jù)可直觀得出“參加電商培訓與年齡（記作m歲）有關(guān)”的結(jié)論．請列出列聯(lián)表，用獨立性檢驗的方法，通過比較的觀測值的大小，判斷年齡取35歲還是45歲時犯錯誤的概率哪一個更小？

（參考公式：，其中）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某餐廳通過查閱了最近5次食品交易會參會人數(shù) (萬人)與餐廳所用原材料數(shù)量 (袋)，得到如下統(tǒng)計表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

參會人數(shù) (萬人)

13

9

8

10

12

原材料 (袋)

32

23

18

24

28

（1）根據(jù)所給5組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程.

（2）已知購買原材料的費用 (元)與數(shù)量 (袋)的關(guān)系為，

投入使用的每袋原材料相應的銷售收入為700元，多余的原材料只能無償返還，據(jù)悉本次交易大會大約有15萬人參加，根據(jù)(1)中求出的線性回歸方程，預測餐廳應購買多少袋原材料，才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？(注：利潤銷售收入原材料費用).

參考公式： ， .

參考數(shù)據(jù)： ， ， .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在所有棱長都相等的三棱柱中，.

（1）證明：；

（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某商場隨機抽取了2000件商品，按商品價格（元）進行統(tǒng)計，所得頻率分布直方圖如圖所示.記價格在，，對應的小矩形的面積分別為，且.

（1）按分層抽樣從價格在，的商品中共抽取6件，再從這6件中隨機抽取2件作價格對比，求抽到的兩件商品價格差超過800元的概率；

（2）在清明節(jié)期間，該商場制定了兩種不同的促銷方案：

方案一：全場商品打八折；

方案二：全場商品優(yōu)惠如下表，如果你是消費者，你會選擇哪種方案？為什么？（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表）

商品價格

優(yōu)惠（元）

30

50

140

160

280

320

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠預購軟件服務(wù)，有如下兩種方案：

方案一：軟件服務(wù)公司每日收取工廠60元，對于提供的軟件服務(wù)每次10元；

方案二：軟件服務(wù)公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務(wù)不超過15次，不另外收費，若超過15次，超過部分的軟件服務(wù)每次收費標準為20元.

（1）設(shè)日收費為元，每天軟件服務(wù)的次數(shù)為，試寫出兩種方案中與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該工廠對過去100天的軟件服務(wù)的次數(shù)進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形圖，依據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，把頻率視為概率，從節(jié)約成本的角度考慮，從兩個方案中選擇一個，哪個方案更合適？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，一塊黃銅板上插著三根寶石針，在其中一根針上從下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法則移動這些金片：每次只能移動一片金片；每次移動的金片必須套在某根針上；大片不能疊在小片上面．設(shè)移完n片金片總共需要的次數(shù)為an，可推得a1=1，an+1=2an+1．如圖是求移動次數(shù)在1000次以上的最小片數(shù)的程序框圖模型，則輸出的結(jié)果是（　�。�

A. 8B. 9C. 10D. 11

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，邊長為a的空間四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，則異面直線AD與BC所成角的大小為（　�。�

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°

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同步練習冊答案