在三棱錐M－ABC中，CM⊥平面ABC，MA＝MB，NA＝NB＝NC．

(Ⅰ)求證：AM⊥BC；

(Ⅱ)若∠AMB＝60°，求直線AM與CN所成的角．

答案：
解析：

　　證明：(Ⅰ)∵NA＝NB＝NC

　　∴N是△ABC外接圓的圓心，可得∠ACB＝90°，即BC⊥AC　2分

　　∵CM⊥平面ABC，BC平面ABC，

　　∴MC⊥BC　4分

　　∴BC⊥面MAC

　　∴BC⊥MA　6分

　　(Ⅱ)(文)取MB的中點P，連結CP，NP，則NP//AM，所以∠PNC是直線AM與CN所成的角，　8分

　　令AN＝NB＝NC＝1，

　　∴AM＝2，NP＝1，CP＝MB＝1

　　在△CPN中，CP＝NP＝CN＝1　10分

　　∴∠PNC＝60°　12分

　　(Ⅱ)(理)∵CM⊥面ABC，MA＝MB

　　∴CA＝CB

　　∴∠ANC＝∠BNC＝90°

　　∴AB⊥CN

　　連結MN，AB⊥MN

　　∴∠MNC為二面角M－AB－C的平面角．　8分

　　設NA＝NB＝NC＝1

　　在Rt△AMN中，MN＝ANtan∠MAN＝tan75°＝tan(45＋30°)＝2＋　10分

　　在Rt△MNC中，cos∠MNC＝

　　∴二面角M－AB－C的余弦值是2－　12分


練習冊系列答案
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