D
分析:對選項中的函數(shù)分別進行求導,研究它們的極值和單調性進行分析,對于A:求導,由導數(shù)的符號知f(x)在(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
)上單調遞減,且f(0)=0,故該函數(shù)在(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
)上無零點,故錯;對于B:求導,令導數(shù)等于零,求出該函數(shù)的極值點x
1,分析函數(shù)的單調性f(x)在(0,x
1)上單調遞增,在(
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)上單調遞減,對于C:求導,由導數(shù)的符號知f(x)在(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
)上單調遞減,且f(0)=0,故該函數(shù)在(0,
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)上無零點,故錯;對于D:求導,求得函數(shù)的極值點,分析函數(shù)的單調性,可知該選項正確.
解答:對于A:f'(x)=cosx-1<0,x∈(0,
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)
∴f(x)在(0,
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)上單調遞減,且f(0)=0,故該函數(shù)在(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
)上無零點,故錯;
對于B:令f′(x)=cosx-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5817.png)
=0,得x
1=arccos
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5817.png)
,
當0<x<x
1時,f′(x)>0,當
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時,f′(x)<0,
因此f(x)在(0,x
1)上單調遞增,在(
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)上單調遞減,
而f(0)=0,f(
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)=0,故該函數(shù)在(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
)上無零點,故錯;
對于C:f′(x)=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0,x∈(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
)
∴f(x)在(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
)上單調遞減,且f(0)=0,故該函數(shù)在(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
)上無零點,故錯;
對于D:令f′(x)=2sinxcosx-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5817.png)
=sin2x-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5817.png)
=0,得x
1=arcsin
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5817.png)
,或x
2=π-arcsin
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5817.png)
,
當0<x<x
1時,f′(x)<0,當x
1<x<x
2時,f′(x)>0,當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/498937.png)
時,f′(x)<0,
因此f(x)在(0,x
1)上單調遞減,在(x
1,x
2)上單調遞增,在(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/498938.png)
)上單調遞減,
而f(0)=0,f(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
)=0,故該函數(shù)在(0,
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)上有零點,故正確;
故選D.
點評:此題是個中檔題.考查函數(shù)的零點的判定定理,和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值問題,考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力.