下列函數(shù)中,在(0,數(shù)學公式)上有零點的函數(shù)是


  1. A.
    f(x)=sinx-x
  2. B.
    f(x)=sinx-數(shù)學公式x
  3. C.
    f(x)=sin2x-x
  4. D.
    f(x)=sin2x-數(shù)學公式x
D
分析:對選項中的函數(shù)分別進行求導,研究它們的極值和單調性進行分析,對于A:求導,由導數(shù)的符號知f(x)在(0,)上單調遞減,且f(0)=0,故該函數(shù)在(0,)上無零點,故錯;對于B:求導,令導數(shù)等于零,求出該函數(shù)的極值點x1,分析函數(shù)的單調性f(x)在(0,x1)上單調遞增,在()上單調遞減,對于C:求導,由導數(shù)的符號知f(x)在(0,)上單調遞減,且f(0)=0,故該函數(shù)在(0,)上無零點,故錯;對于D:求導,求得函數(shù)的極值點,分析函數(shù)的單調性,可知該選項正確.
解答:對于A:f'(x)=cosx-1<0,x∈(0,
∴f(x)在(0,)上單調遞減,且f(0)=0,故該函數(shù)在(0,)上無零點,故錯;
對于B:令f′(x)=cosx-=0,得x1=arccos,
當0<x<x1時,f′(x)>0,當時,f′(x)<0,
因此f(x)在(0,x1)上單調遞增,在()上單調遞減,
而f(0)=0,f()=0,故該函數(shù)在(0,)上無零點,故錯;
對于C:f′(x)=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0,x∈(0,
∴f(x)在(0,)上單調遞減,且f(0)=0,故該函數(shù)在(0,)上無零點,故錯;
對于D:令f′(x)=2sinxcosx-=sin2x-=0,得x1=arcsin,或x2=π-arcsin
當0<x<x1時,f′(x)<0,當x1<x<x2時,f′(x)>0,當時,f′(x)<0,
因此f(x)在(0,x1)上單調遞減,在(x1,x2)上單調遞增,在()上單調遞減,
而f(0)=0,f()=0,故該函數(shù)在(0,)上有零點,故正確;
故選D.
點評:此題是個中檔題.考查函數(shù)的零點的判定定理,和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值問題,考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力.
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