Question

如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交⊙O于N，過(guò)N點(diǎn)的切線交CA的延長(zhǎng)線于P．
（Ⅰ）求證：PM²=PA•PC；
（Ⅱ）若⊙O的半徑為2

3

，OA=

3

OM，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）做出輔助線連接ON，根據(jù)切線得到直角，根據(jù)垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根據(jù)同角的余角相等，得到角的相等關(guān)系，得到結(jié)論．
（Ⅱ）本題是一個(gè)求線段長(zhǎng)度的問(wèn)題，在解題時(shí)，應(yīng)用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所給的條件，得到要求線段的長(zhǎng)．

解答：（Ⅰ）證明：連接ON，因?yàn)镻N切⊙O于N，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONB+∠BNP=90°
∵OB=ON，
∴∠OBN=∠ONB
因?yàn)镺B⊥AC于O，
∴∠OBN+∠BMO=90°，
故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN
∴PM²=PN²=PA•PC
（Ⅱ）∵OM=2，BO=2

3

，BM=4
∵BM•MN=CM•MA=（2

3

+2）（2

3

-2）（2

3

-2）=8，
∴MN=2

點(diǎn)評(píng)：本題要求證明一個(gè)PM²=PA•PC結(jié)論，實(shí)際上這是一個(gè)名叫切割線定理的結(jié)論，可以根據(jù)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)證明，這是一個(gè)基礎(chǔ)題．