Question

（1）若函數(shù)f（x）=2x²-ax-1在（0，1）內(nèi)存在x₀，使得f（x₀）=0，求a的取值范圍．
（2）方程mx²+2（m+3）x+2m+14=0有兩相異實根，一個大于4，一個小于4，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令f（x₀）=0，解出a=2x₀-

1

x0

，x₀∈（0，1），令g（x）=2x-

1

x

，求出函數(shù)g（x）的值域，從而得出a的范圍；
（2）構(gòu)造函數(shù)f（x）=mx²+2（m+3）x+2m+14，利用一根大于4，一根小于4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)建立不等式，解不等式即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x₀）=0，
∴a=2x₀-

1

x0

，x₀∈（0，1），
令g（x）=2x-

1

x

，（x∈（0，1）），
∴g′（x）=2+

1

x2

＞0，
∴g（x）在（0，1）遞增，
∴g（x）＜1，
∴a＜1．
（2）構(gòu)造函數(shù)f（x）=mx²+2（m+3）x+2m+14，
∵一根大于4，一根小于4，
∴mf（4）＜0，
∴m（26m+38）＜0，
∴-

19

13

＜m＜0．

點評：本題考查方程根的研究，考查函數(shù)與方程思想，解題的關(guān)鍵是建立函數(shù)，用函數(shù)思想解決方程問題．