Question

設(shè){an}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列(d≠0)，Sn是其前n項和．記bn＝，n∈N*，其中c為實數(shù)．

(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；

(2)若{bn}是等差數(shù)列，證明：c＝0.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】∵{an}是首項為a，公差為d的等差數(shù)列(d≠0)，Sn是其前n項和，

∴Sn＝na＋d.

(1)∵c＝0，∴bn＝＝a＋d.

∵b1，b2，b4成等比數(shù)列，∴＝b1b4，

∴，∴ad－d2＝0，∴d＝0.

∵d≠0，∴a＝d，∴d＝2a，∴Sn＝na＋d＝na＋2a＝n2a，

∴左邊＝Snk＝(nk)2a＝n2k2a，右邊＝n2Sk＝n2k2a，

∴左邊＝右邊，∴原式成立．

(2)∵{bn}是等差數(shù)列，

∴設(shè)公差為d1，

∴bn＝b1＋(n－1)d1

代入bn＝，得b1＋(n－1)d1＝，

∴n3＋n2＋cd1n＝c(d1－b1)對n∈N*恒成立，

∴ ∴d1＝d.∵d≠0，∴d1≠0.