Question

如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“C₁—C₂型點”.

(1)在正確證明的左焦點是“C₁—C₂型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);

(2)設(shè)直線與有公共點,求證,進(jìn)而證明原點不是“C₁—C₂型點”;

(3)求證:圓內(nèi)的點都不是“C₁—C₂型點”.

 

Answer 1

【答案】

 (1) C₁的左焦點為“C₁-C₂型點”,且直線可以為;

(2)直線至多與曲線C₁和C₂中的一條有交點,即原點不是“C₁-C₂型點”.

(3)直線若與圓內(nèi)有交點,則不可能同時與曲線C₁和C₂有交點,

即圓內(nèi)的點都不是“C₁-C₂型點”.

【解析】

試題分析：

思路分析：(1)緊扣“C₁-C₂型點”的定義，確定C₁的左焦點為“C₁-C₂型點”,且直線可以為;

(2)通過研究直線與C₂有交點的條件，分別得到和 ，不可能同時成立，得到結(jié)論：直線至多與曲線C₁和C₂中的一條有交點,即原點不是“C₁-C₂型點”.

(3)顯然過圓內(nèi)一點的直線若與曲線C₁有交點,則斜率必存在;

根據(jù)對稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C₂交于點,則

 

根據(jù)直線與圓內(nèi)部有交點,得到 

化簡得,............①

再根據(jù)直線與曲線C₁有交點, 由方程組

 

化簡得,.....②

由①②得, 

但此時,因為,即①式不成立;

當(dāng)時,①式也不成立 ，得出結(jié)論。

解：(1)C₁的左焦點為,過F的直線與C₁交于,與C₂交于,故C₁的左焦點為“C₁-C₂型點”,且直線可以為;

(2)直線與C₂有交點,

則,若方程組有解,則必須;

直線與C₂有交點,則

,若方程組有解,則必須 

故直線至多與曲線C₁和C₂中的一條有交點,即原點不是“C₁-C₂型點”.

(3)顯然過圓內(nèi)一點的直線若與曲線C₁有交點,則斜率必存在;

根據(jù)對稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C₂交于點,則

 

直線與圓內(nèi)部有交點,故 

化簡得,............①

若直線與曲線C₁有交點,則

 

 

化簡得,.....②

由①②得, 

但此時,因為,即①式不成立;

當(dāng)時,①式也不成立

綜上,直線若與圓內(nèi)有交點,則不可能同時與曲線C₁和C₂有交點,

即圓內(nèi)的點都不是“C₁-C₂型點”.

考點：新定義問題，直線與圓的位置關(guān)系，直線與雙曲線的位置關(guān)系，一元二次不等式的解法。

點評：難題，本題綜合性較強(qiáng)，綜合考查直線與圓、雙曲線的位置關(guān)系以及不等式問題。從思路方面講，要緊扣“C₁-C₂型點”的定義，研究方程組解的情況。