(07年上海卷理)(18分)

已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”,其中。如圖,設(shè)點(diǎn),,是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn),,是“果圓” 與,軸的交點(diǎn),

(1)若三角形是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,求“果圓”的方程;

(2)若,求的取值范圍;

(3)一條直線與果圓交于兩點(diǎn),兩點(diǎn)的連線段稱為果圓的弦。是否存在實(shí)數(shù),使得斜率為的直線交果圓于兩點(diǎn),得到的弦的中點(diǎn)的軌跡方程落在某個(gè)橢圓上?若存在,求出所有的值;若不存在,說明理由。

解析:(1) ,

,

    于是,所求“果圓”方程為                           

    , 

(2)由題意,得  ,即

         ,,得.  

     又.  .               

    (3)設(shè)“果圓”的方程為,

    記平行弦的斜率為

當(dāng)時(shí),直線與半橢圓的交點(diǎn)是

,與半橢圓的交點(diǎn)是

 的中點(diǎn)滿足  得

      

    綜上所述,當(dāng)時(shí),“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上.  

    當(dāng)時(shí),以為斜率過的直線與半橢圓的交點(diǎn)是.  

由此,在直線右側(cè),以為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線上,

即不在某一橢圓上.

    當(dāng)時(shí),可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上.

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