Question

已知橢圓C上的點P（1，

2

2

）到左、右焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為2

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點（0．-

1

3

）的直線l交橢圓C于A，B兩點，求證：以AB為直徑的圓恒過一定點（其坐標(biāo)與直線l的位置無關(guān)）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由已知得

2a=2 2 1 a2 + 1 2b2 =1

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線方程為y+

1

3

=kx，代入橢圓方程得

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²-

4

3

kx-

16

9

=0，由此利用韋達(dá)定理、圓的性質(zhì)結(jié)合已知條件能證明以AB為直徑的圓恒過一定點（0，1）．

解答： （1）解：∵橢圓C上的點P（1，

2

2

）到左、右焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為2

2

，
∴設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
且

2a=2 2 1 a2 + 1 2b2 =1

，
解得a=

2

，b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．
（2）證明：設(shè)直線方程為y+

1

3

=kx
代入橢圓方程得

x2

2

+y2=1，得x²+2（kx-

1

3

）²=2
（1+2k²）x²-

4

3

kx-

16

9

=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

4k

3(1+2k2)

，x1•x2=-

16

9(1+2k2)

，①
以AB為直徑的圓為：（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，②
把①代入②，得18（x²+y²-1）k²-12kx+9x²+9y²+6y-15=0對任意k恒成立，
則

x2+y2-1=0 -12kx=0 9x2+9y2+6y-15=0

，解得x=0，y=1，
∴以AB為直徑的圓恒過一定點（0，1）．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查圓恒過定點的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．