Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的正數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足f（S_n+2）-f（a_n）=f（3）（n∈N^*），則a₃=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,抽象函數(shù)及其應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得S_n+2=3a_n，從而推導出數(shù)列{a_n}是一個以1為首項，以

3

2

為公比的等比數(shù)列，由此能求出a₃．

解答： 解：∵對任意的正數(shù)x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
∵f（S_n+2）-f（a_n）=f（3），
∴f（S_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）
又∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
∴S_n+2=3a_n…①
當n=1時，S₁+2=a₁+2=3a₁，解得a_n=1
當n≥2時，S_n-1+2=3a_n-1…②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1
即

an

an-1

=

3

2

，
∴數(shù)列{a_n}是一個以1為首項，以

3

2

為公比的等比數(shù)列，
∴a₃=（

3

2

）²=

9

4

．
故答案為：

9

4

．

點評：本題考查數(shù)列的第三項的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意抽象函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．