已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+mx2
,其中m為實(shí)數(shù).
(1)函數(shù)f(x)在x=-1處的切線斜率為
1
3
,求m的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若f(x)在x=-2處取得極值,直線y=a與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求a的取值范圍.
分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由已知在x=-1處f(x)的切線斜率為
1
3
,代入可得f'(-1)=
1
3
,進(jìn)一步得到m的值.
(2)利用導(dǎo)數(shù)f(x)=x2+2mx,對(duì)參數(shù)m要分m=0,m>0,m<0三種情況來(lái)討論,可借助于x,f'(x),f(x)的變化情況表來(lái)解得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(3)f(x)在x=-2處取得極值,即有f'(-2)=0可得到m的值,代入函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x)求得極值,由函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn),尋求函數(shù)的極值點(diǎn),得到極值,通過(guò)比較函數(shù)的極值于參數(shù)a之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)f'(x)=x2+2mx,f'(-1)=1-2m
1-2m=
1
3
,解得m=
1
3

(2)f'(x)=x2+2mx=x(x+2m)
①當(dāng)m=0時(shí),f(x)=
1
3
x3
,在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
②當(dāng)m>0時(shí)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化狀態(tài)如下表:
x (-∞,-2m) -2m (-2m,0) 0 (0,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增
函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-2m)和(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-2m,0).
當(dāng)m<0時(shí)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化狀態(tài)如下表:
x (-∞,0) 0 (0,-2m) -2m (-2m,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增
函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)和(-2m,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,-2m).
綜上:當(dāng)m=0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,+∞);
當(dāng)m>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-2m)和(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-2m,0);
當(dāng)m<0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)和(-2m,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,-2m).
(3)由題意f'(-2)=0,解得m=1.
所以,f(x)=
1
3
x3+x2

由(2)知f(x)在區(qū)間(-∞,-2)上遞增,在(-2,0)上遞減,(0,+∞)上遞增
所以f(x)極大=f(-2)=
4
3
,f(x)極小=f(0)=0,
要使直線y=a與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)
只需,0<a<
4
3
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題,考查了二次函數(shù)的性質(zhì),綜合考查了函數(shù)與方程的思想,轉(zhuǎn)化與化歸的思想,以及分類討論等數(shù)學(xué)思想,在求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)對(duì)學(xué)生的能力有較高的要求.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個(gè)函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時(shí)滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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