Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，橢圓上任意一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為4，設直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B，點A的坐標為（-a，0）．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若|AB|=

4 2

5

，求直線l的傾斜角．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）根據(jù)a²=b²+c²，

c

a

=

3

2

，2a=4，求解．（2）聯(lián)立方程組

y=k(x+2) x2 4 + y2 1 =1

消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，運用韋達定理，弦長公式求解．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，橢圓上任意一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為4，
∴a=2，c=

3

，b=1，
∴橢圓的標準方程：

x2

4

+

y2

1

=1，
（2）∵設直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B，點A的坐標為（-a，0）．
∴點A的坐標為（-2，0），
∴直線l的方程為：y=k（x+2），
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可知點A的坐標是（-2，0）．
設點B的坐標為（x₁，y₁），直線l的斜率為k．
則直線l的方程為y=k（x+2）．
于是A、B兩點的坐標滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 + y2 1 =1

消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

，得x₁=

2-8k2

1+4k2

．從而y₁=

4k

1+4k2

．
所以|AB|=

4 1+k2

1+4k2

由|AB|=

4 2

5

，得

4 1+k2

1+4k2

=

4 2

5

整理得32k⁴-9k²-23=0，即（k²-1）（32k²+23）=0，解得k=±1．
所以直線l的傾斜角為

π

4

或

3π

4

．

點評：本題考查了橢圓和直線的位置關系，聯(lián)立方程組結合弦長公式求解．