Question

已知函數(shù)f（x）=2^x-

1

2x

．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若對于t∈[1，2]時，不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）=2即2^x-

1

2x

=2，先解2^x，再解x值，注意2^x＞0；
（2）不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，通過整理變形轉(zhuǎn)化為4^t+1+m≥0恒成立，分離參數(shù)m后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決；

解答：解：（1）f（x）=2即2^x-

1

2x

=2，得4^x-2×2^x-1=0，∴2^x=1±

2

，
又2^x＞0，∴2^x=1+

2

，
∴x=log₂（1+

2

）．
（2）∵2^t（2^2t-

1

22t

）+m（2^t-

1

2t

）≥0，
∴2^t（2^t-

1

2t

）（2^t+

1

2t

）+m（2^t-

1

2t

）≥0，∵t∈[1，2]，∴2^t＞

1

2t

，
∴4^t+1+m≥0恒成立，即m≥-（4^t+1）恒成立，問題等價于m大于等于-（4^t+1）的最大值-5，
∴m≥-5，
因此m的取值范圍為[-5，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題及指數(shù)方程的求解，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決，或分離參數(shù)后再求函數(shù)最值．