設(shè)函數(shù)f(x)=
1x-1
-1

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的定義域和值域;
(Ⅱ) 證明函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù).
分析:(Ⅰ)求f(x)的定義域可令分母x-1≠0求解;根據(jù)函數(shù)的定義域即可求得函數(shù)的值域;
(Ⅱ)要用函數(shù)的單調(diào)性的定義來證明函數(shù)是一個減函數(shù),首先取兩個具有大小關(guān)系的變量,利用這兩個自變量的函數(shù)值相減,把最后結(jié)果整理成因式乘積的形式,判斷差和0的關(guān)系.
解答:解:(Ⅰ)令分母x-1≠0解得x≠1,故定義域?yàn)閧x|x≠1}
f(x)=
1
x-1
-1
,由于x-1≠0,
1
x -1
≠0

1
x -1
-1≠-1
,
f(x)=
1
x-1
-1
的值域是(-∞,-1)∪(-1,+∞);
(Ⅱ)證明:在(1,+∞)上任取兩個值x1,x2且x1<x2
f(x1)-f(x2)=(
1
x1-1
-1
)-(
1
x2-1
-1

=
x2-x1
(x1-1)(x2-1)

∵1<x1<x2
∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2
∴函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明以及函數(shù)的定義域與值域的求法,求解此類題的關(guān)鍵是對函數(shù)性質(zhì)的證明方法了然于胸,熟知其各種判斷證明方法,同時考查運(yùn)算能力,屬中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•山東)設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x
,g(x)=-x2+bx.若y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則下列判斷正確的是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+1
,點(diǎn)A0表示原點(diǎn),點(diǎn)An(n,f(n))(n∈N*),θn是向量
a
與向量
i
=(1,0)
的夾角,
an
=
A0A1
+
A1A2
+
A2A3
+…+
An-1An
,設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn,則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+1
,點(diǎn)A0表示坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)An(n,f(n))(n∈N*),若向量
an
=
A0A1
+
A1A2
+…+
An-1An
,θn
an
i
的夾角,(其中
i
=(1,0)
),設(shè)Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn,則Sn=
n
n+1
n
n+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
x+2
+lg
1-x
1+x

(1)求f(x)的定義域.
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并證明.
(3)解關(guān)于x的不等式f[x(x-
1
2
)]<
1
2

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