Question

【題目】已知直線y=x﹣4被拋物線y2=2mx（m≠0）截得的弦長為 ，求拋物線的標準方程．

Answer 1

【答案】解：設直線y=x﹣4與拋物線y2=2mx交于點A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）， 由 消去y，可得x2﹣2（4+m）x+16=0，
∴x1+x2=2（4+m），x1x2=16，
可得（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4（4+m）2﹣4×16=4m2+32m，
（y1﹣y2）2=[（x1﹣4）﹣（x2﹣4）]2=（x1﹣x2）2=4m2+32m，
因此，|AB|= = = ，
解之得m=1或﹣9，可得拋物線的標準方程是y2=2x或y2=﹣18x
【解析】設直線與拋物線相交于點A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），將直線方程與拋物線方程消去y得到關于x的一元二次方程，由韋達定理得到x1+x2=2（4+m），x1x2=16．根據兩點的距離公式與直線的方程，將AB長表示成關于m的式子，結合題意建立關于m的等式，解之得到實數m的值，即可得到所求拋物線的標準方程．