Question

己知點F為拋物線C：y²=x的焦點，斜率為1的直線l交拋物線于不同兩點P，Q．以F為圓心，以FP，F(xiàn)Q為半徑作圓，分別交x軸負半軸于M，N，直線PM，QN交于點T．
（I）判斷直線PM與拋物線C的位置關(guān)系，并說明理由；
（II）連接FT，F(xiàn)Q，F(xiàn)P，記S₁=S_△PFT，S₂=S_△QFT，S₃=S_△PQT設(shè)直線l在y軸上的截距為m，當m何值時，

S1S2

S3

取得最小值，并求出取到最小值時直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出P，Q的坐標，求出直線PM的方程，代入拋物線方程，利用判別式可得結(jié)論；
（II）將直線PQ：y=x+m代入y²=x可得y²-y+m=0，計算點F到直線PT的距離，點Q到直線PT的距離，從而可得

S1

S3

=

d1

d2

=

1+4y12

4(y1-y2)2

=

1+4y12

4(1-4m)

，同理

S2

S3

= 

1+4y22

4(1-4m)

沒勁兒可得

S1S2

S3

=

16m2-8m+5

64 1-4m

，令t=

1-4m

＞0，則

S1S2

S3

=

1

64

(t3+

4

t

)=f(t)，利用導數(shù)法，即可求出

S1S2

S3

的最小值，從而可得取到最小值時直線l的方程．

解答：解：（I）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意及拋物線的定義知：M（-x₁，0），N（-x₂，0），
∴KMP=

y1

2x1

=

1

2y1

∴直線PM：y-y₁=

1

2y1

(x-x1)，即x-2y1y+y12=0
代入y²=x可得y2-2y1y+y12=0
∵△=4y12-4y12=0
∴直線PM與拋物線C相切；
（II）直線PQ：y=x+m代入y²=x可得y²-y+m=0
∴y₁+y₂=1，y₁y₂=m
點F到直線PT的距離d1=

| 1 4 +y12|

1+4y12

；點Q到直線PT的距離d2=

|x2-2y1y2+y12|

1+4y12

= 

(y1-y2)2

1+4y12

∴

S1

S3

=

d1

d2

=

1+4y12

4(y1-y2)2

=

1+4y12

4(1-4m)

，同理

S2

S3

= 

1+4y22

4(1-4m)

又直線PM與QN的交點T(y1y2，

y1+y2

2

)，∴T(m，

1

2

)
∴S3=

1

2

|PQ|d=

|y1-y2||1-4m|

4

∴

S1S2

S3

=

16m2-8m+5

64 1-4m

令t=

1-4m

＞0，∴

S1S2

S3

=

1

64

(t3+

4

t

)=f(t)
∵f′(t)=

1

64

(3t2-

4

t2

)=

3t4-4

64t2

∴f（t）在(0，

4	4 3

)上單調(diào)遞減，在(

4	4 3

，+∞)上單調(diào)遞增
∴

S1S2

S3

≥ 

1

12

4	3 4

，此時m=

1

4

-

3

6

，即直線l的方程為y=x+

1

4

-

3

6

綜上可知，

S1S2

S3

的最小值為

1

12

4	3 4

，取到最小值時直線l的方程為y=x+

1

4

-

3

6

．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形的面積，考查導數(shù)法求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，屬于中檔題．