Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通公式；
（Ⅱ）若b_n=（n+1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（a_n+1，S_n）在直線上，則2a_n+1+S_n-2=0；由遞推關(guān)系，得，驗(yàn)證=滿足關(guān)系即得數(shù)列{a_n}的通公式；
（II）由（I）知，，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n：T_n=2×+3×+4×+…+；則∴T_n=2×+3×+4×+…+；作差，得T_n，從而得 T_n．
解答：解：（I）在數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上；
所以，2a_n+1+S_n-2=0，則，
（*），又∵2a₂+s₁-2=0，∴a₂=，∴=滿足關(guān)系式（*），
∴數(shù)列{a_n}的通公式為：；
（II）由（I）知，，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n有：
T_n=2×+3×+4×+…+①；
∴T_n=2×+3×+4×+…+②；
①-②，得T_n=2×++++…+-
=1+-=3-；
∴T_n=6-．
點(diǎn)評(píng)：本題（I）考查了由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)，需要驗(yàn)證n=1時(shí)成立；（II）考查了用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和，需要注意作差后的首、末項(xiàng)情況．