Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，（x＜1）}\\{{e}^{x}，（x≥1）}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-kx恰有一個零點，則k的取值范圍是（　�。�

• A． （e，+∞）
• B． （-∞，e）
• C． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• D． [0，e）

Answer 1

分析 利用函數(shù)的零點，轉(zhuǎn)化為方程根，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點，求出一個零點，然后求解k的范圍即可．

解答 解：∵函數(shù)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，（x＜1）}\\{{e}^{x}，（x≥1）}\end{array}\right.$，
∴f（0）=0，
∴x=0是函數(shù)y=f（x）-kx的一個零點，
函數(shù)g（x）=f（x）-kx恰有一個零點，可得：y=f（x）與y=kx的圖象如圖：
當x＜1時，由f（x）=kx，兩個函數(shù)只有一個交點，則k≤1；
當x≥1時，y=e^x，是增函數(shù)，x=1時，函數(shù)的最小值為：e，
可知k＜e．
f'（x）=e^x∈（1，+∞），
∴要使函數(shù)y=f（x）-kx在x＞0時有一個零點，
則k＞1，
∴k＞1，
即實數(shù)k的取值范圍是（-∞，e），
故選：B．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)零點及零點的個數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．