Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g(x)=

f(x)

x

+

9

2(x+1)

-k僅有一個零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由已知得：f（x）=a+lnx+1，從而f′（e）=3，即a+lne+1=3，解得a=1，
（2）先求出函數(shù)的極值，得到不等式組，解出k的值即可．

解答： 解：（1）由已知得：f′（x）=a+lnx+1，
∴f′（e）=3，即a+lne+1=3，
∴a=1，
（2）∵g（x）=

x+xlnx

x

+

9

2(x+1)

-k，
=1+lnx+

9

2(x+1)

-k（x＞0），
∴g′（x）=

1

x

-

9

2(x+1)2

=

(2x-1)(x-2)

2x(x+1)2

（x＞0），
令g′（x）=0，解得：x=

1

2

，x=2，
∴x∈（0，

1

2

）時，g（x）是增函數(shù)，
x∈（

1

2

，2）時，g（x）是減函數(shù)，
x∈（2，+∞）時，g（x）是增函數(shù)，
∴g（x）_極大值=g（

1

2

）=4-ln2-k，
g（x）_極小值=g（2）=

5

2

+ln2-k，
由于x→0時，g（x）→-∞，x→+∞，g（x）→+∞，
要使g（x）僅有一個零點，
∴

4-ln2-k＜0 5 2 +ln2-k＜0

或

5 2 +ln2-k＞0 4-ln2-k＞0

，
∴k＞4-ln2或k＜

5

2

+ln2，
∴k∈（-∞，

5

2

+ln2）∪（4-ln2，+∞）．

點評：本題考察了導數(shù)的應用，函數(shù)的零點，求函數(shù)的極值問題，是一道綜合題．