Question

【題目】已知數(shù)列滿足，對每個正整數(shù)，有或.如這個數(shù)列可以為1，2，4，6，10….

（1）若某一項為奇數(shù)，且不為3的倍數(shù)，證明：；

（2）證明：；

（3）若在的前2015項中，恰有t個項為奇數(shù)，求t的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）1343

【解析】

（1）由am不為偶數(shù)，知.

于是，.

假如，則為3的倍數(shù)，與已知條件矛盾.

從而，只能是.

故.

（2）由遞推關系，易知數(shù)列是單調(diào)遞增的.

因此，當時，.

從而，，即.

由此，.

故

（3）一方面，數(shù)列的任意相鄰三項至多有兩個奇數(shù).

事實上，假如均為奇數(shù)，由均為偶數(shù)，故根據(jù)遞推關系知為偶數(shù)，矛盾.

因此，在這671組數(shù)中，每組至多含兩個奇數(shù).

再考慮到為奇數(shù)，為偶數(shù)，故至多有個奇數(shù)，即.

另一方面 ，當數(shù)列總滿足時，注意到，為奇數(shù)，為偶數(shù)，故對每個正整數(shù)k，由遞推關系得為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，此時，數(shù)列的前2015項含有1343個奇數(shù).

綜上，t的最大值1343.