Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值為2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）已知a=1，ff′（x）=$\frac{（x-\sqrt{2}）（x+\sqrt{2}）}{x（x-2）}$，求解f（x）的單調(diào)區(qū)間，只需令f′（x）＞0解出單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0解出單調(diào)減區(qū)間．
（2）區(qū)間（0，1]上的最值問題，通過導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)和端點(diǎn)的比較得到，確定待定量a的值．

解答 解：對函數(shù)求導(dǎo)得：f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2-x}$+a，定義域?yàn)椋?，2）
（1）當(dāng)a=1時，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2-x}$=$\frac{（x-\sqrt{2}）（x+\sqrt{2}）}{x（x-2）}$，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)x∈（0，$\sqrt{2}$）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（$\sqrt{2}$，2）時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間是$（0，\sqrt{2}）$；減區(qū)間是$（\sqrt{2}，2）$．
（2）當(dāng)$x∈（0，1]，f'（x）=\frac{2-2x}{x（2-x）}+a＞0$，即f（x）在（0，1]上為單調(diào)遞增．
最大值在右端點(diǎn)取到f（x）_max=f（1）=a=2．

點(diǎn)評 本題考查了考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值等知識，屬于中檔題．