Question

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x2-2nx+bn=0，(n∈N*)的兩根，且a₁=1．
（1）求證：數(shù)列{an-

1

3

×2n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若b_n-mS_n＞0對(duì)任意的n∈N^*都成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由韋達(dá)定理可得a_n+a_n+1=2ⁿ，從而利用等比數(shù)例的定義即可證得數(shù)列{an-

1

3

×2n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）可求得a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]，利用分組求和的方法即可求得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）由韋達(dá)定理可得a_n•a_n+1=b_n，而a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]，從而可求得b_n，結(jié)合b_n-mS_n＞0對(duì)任意的n∈N^*都成立，分n為奇數(shù)與偶數(shù)討論即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵a_n+a_n+1=2ⁿ，
∴a_n+1-

1

3

•2ⁿ⁺¹
=（2ⁿ-a_n）-

1

3

•2ⁿ⁺¹
=-a_n+2ⁿ（1-

2

3

）
=-(an-

1

3

•2n)
∴

an+1- 1 3 •2n+1

an- 1 3 •2n

=-1，
∴{a_n-

1

3

•2ⁿ}是等比數(shù)列，
又a₁-

2

3

=

1

3

，q=-1
∴a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]．
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

1

3

[（2+2²+…+2ⁿ）-（（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ）]

= 1 3 [ 2(1-2n) 1-2 - (-1)(1-(-1)n) 1+1 ] = 1 3 [2n+1-2- -1+(-1)n 2 ] = 2n+1 3 - 2 3    n偶 2n+1 3 - 1 3    n奇

（3）∵a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x2-2nx+bn=0，(n∈N*)的兩根，
∴b_n=a_n•a_n+1，b_n=

1

9

[2ⁿ-（-1）ⁿ][2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹]
=

1

9

[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]
∵b_n-ms_n＞0，
∴

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-m•

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

1

9

[2²ⁿ⁺¹+2ⁿ-1]-

m

3

（2ⁿ⁺¹-1）＞0，
∴m＜

1

3

（2ⁿ+1）對(duì)?n∈{奇數(shù)}都成立，
∴m＜1．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

1

9

[2²ⁿ⁺¹-2ⁿ-1]-

m

3

（2ⁿ⁺¹-2）＞0，

1

9

[2²ⁿ⁺¹-2ⁿ-1]-

2m

3

（2ⁿ-1）＞0，
∴m＜

1

6

（2ⁿ⁺¹+1）對(duì)?n∈{偶數(shù)}都成立，
∴m＜

3

2

．
綜上所述，m的取值范圍為m＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查等比關(guān)系的確定，著重考查數(shù)列的分組求和，滲透化歸思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．