Question

已知函數(shù)f（x）=x•lnx，g（x）=ax³-

1

2

x-

2

3e

．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間和最小值；
（2）若函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）在交點(diǎn)處存在公共切線，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=1+lnx，令f′（x）=1+lnx＞0解得增區(qū)間，再求最小值即可；
（2）求導(dǎo)f′（x）=1+lnx，g′（x）=3ax²-

1

2

，則由函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）在交點(diǎn)處存在公共切線知1+lnx=3ax²-

1

2

，x•lnx=ax³-

1

2

x-

2

3e

；聯(lián)立求解．

解答： 解：（1）f′（x）=1+lnx，
令f′（x）=1+lnx＞0解得，x＞

1

e

；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（

1

e

，+∞）；
f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

e

）；
故f（x）的最小值為f（

1

e

）=-

1

e

；
（2）f′（x）=1+lnx，g′（x）=3ax²-

1

2

，
∵函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）在交點(diǎn)處存在公共切線，
∴1+lnx=3ax²-

1

2

①，x•lnx=ax³-

1

2

x-

2

3e

②；
由①得，ax²=

lnx

3

+

1

2

；
代入②得，
x•lnx=x（

lnx

3

+

1

2

）-

1

2

x-

2

3e

；
化簡可得，xlnx=-

1

e

；
故x=

1

e

；
故3a

1

e2

-

1

2

=0；
解得a=

e2

6

．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．