Question

已知0＜α＜

π

4

，β為f(x)=cos(2x+

π

8

)的最小正周期，

a

=(tan(α+

1

4

β)，-1)，

b

=(cosα，2)，且

a

•

b

=m，求

2cos2α+sin2(α+β)

cosα-sinα

的值．

Answer 1

分析：由題意 β為 f(x)=cos(2x+

π

8

)的最小正周期可求得β=π，再由

a

=(tan(α+

1

4

β)，-1)，

b

=(cosα，2)及

a

•

b

=m，可得出cosα•tan(α+

1

4

β)=m+2，然后再化簡

2cos2α+sin2(α+β)

cosα-sinα

求其值即可得到答案

解答：解：因?yàn)?β為 f(x)=cos(2x+

π

8

)的最小正周期，故 β=π．
因

a

•

b

=m，又

a

•

b

=cosα•tan(α+

1

4

β)-2．故 cosα•tan(α+

1

4

β)=m+2．
由于 0＜α＜

π

4

，所以

2cos2α+sin2(α+β)

cosα-sinα

=

2cos2α+sin(2α+2π)

cosα-sinα

=

2cos2α+sin2α

cosα-sinα

=

2cosα(cosα+sinα)

cosα-sinβ

=2cosα

1+tanα

1-tanα

=2cosα•tan(α+

π

4

)=2(2+m)．

點(diǎn)評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式及三角恒等變換求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等變換公式，能利用公式進(jìn)行化簡求值，本題考查了推理判斷的能力及根據(jù)公式化簡計(jì)算求值的能力，是三角函數(shù)中的基本題