Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足下面兩個(gè)條件：
①對(duì)于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明；
（3）如果不等式對(duì)于任意x∈R都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）取x=y=0，可得f（0）=0，
再取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），f（x）是奇函數(shù) …（5分）
（2）任取x₁＜x₂，則 f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
可得 f（x₁）＞f（x₂），所以f（x） 在R上是減函數(shù) …（10分）
（3）∵，且f（x）是奇函數(shù)
∴
∵f（x） 在R上是減函數(shù)
∴，即
∴
∴下面即求函數(shù)的最大值
由于=，sinx∈[-1，1]
∴當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1時(shí)，=
所以…（16分）
分析：（1）根據(jù)已知等式，采用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是奇函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，任取x₁＜x₂，將 f（x₂）與f（x₁）作差得到負(fù)數(shù)，從而 f（x₁）＞f（x₂），得到f（x） 在R上是減函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)在R上是奇函數(shù)且為減函數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為在R上恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，得到不等式右邊的最大值，從而得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、復(fù)合三角函數(shù)的最值和不等式恒成立問題的處理等知識(shí)，屬于中檔題．