Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx，h（x）=x²-x+a．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)k（x）=f（x）-h（x），若函數(shù)k（x）在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，即可求出單調(diào)區(qū)間，
（2）分類討論，分離參數(shù)，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由f（x）=x²-2lnx，得f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

；
則由f'（x）＞0且x＞0，得x＞1；
由f'（x）＜0且x＞0，得0＜x＜1；
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
（2）∵k(x)=f(x)-h(x)=-2lnx+x-a∴k′(x)=-

2

x

+1，
若k′（x）=0，則x=2，
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，k′（x）＜0；當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，k′（x）＞0．
故k（x）在x∈[1，2）上遞減，在（2，3]上遞增，
∴

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)≥0

∴

a≤1 a＞2-2ln2 a≤3-2ln3

∴2-2ln2＜a≤3-2ln3．
所以實(shí)數(shù) a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3]

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，不等式的解法，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．