Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在y軸上，且過點（2，1）．
（Ⅰ）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）是否存在直線l：y=kx+t，與圓x²+（y+1）²=1相切且與拋物線交于不同的兩點M，N，當∠MON為鈍角時，有S_△MON=48成立？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,平面向量數(shù)量積的運算,拋物線的標準方程

專題：壓軸題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ） 設拋物線方程為x²=2py，把點（2，1）代入運算求得 p的值，即可求得拋物線的標準方程．
（Ⅱ） 由直線與圓相切可得

|t+1|

1+k2

=1⇒k2=t2+2t．把直線方程代入拋物線方程并整理，由△＞0求得t的范圍．利用根與系數(shù)的關系及

OM

•

ON

＜0，求得|MN| =4

(1+k2)(t2+3t)

，求得點O到直線的距離，從而求得S△MON=2

t4+3t3

，由此函數(shù)在（0，4）單調遞增，故有0＜S△MON＜16

7

，從而得出結論．

解答： 解：（Ⅰ） 設拋物線方程為x²=2py，
由已知得：2²=2p，所以 p=2，
所以拋物線的標準方程為 x²=4y．
（Ⅱ） 不存在．
因為直線與圓相切，所以 

|t+1|

1+k2

=1⇒k2=t2+2t．
把直線方程代入拋物線方程并整理得：x²-4kx-4t=0．
由△=16k²+16t=16（t²+2t）+16t＞0，得 t＞0或t＜-3．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k且x₁•x₂=-4t，
∴y1•y2=(kx1+t)•(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=t2．
∵∠MON為鈍角，∴

OM

•

ON

＜0，解得0＜t＜4，∵|MN|=

1+k2

|x1-x2|=4

(1+k2)(t2+3t)

，
點O到直線的距離為

|t|

1+k2

，∴S△MON=2

t4+3t3

，易證f(t)=2

t4+3t3

在（0，4）單調遞增，
∴0＜S△MON＜16

7

，故不存在直線，當∠MON為鈍角時，S_△MON=48成立．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，兩個向量的數(shù)量積公式的應用，點到直線的距離公式，利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的值域，屬于中檔題．