利用Dandelin雙球證明當(dāng)α<β<90°時(shí),平面π與圓錐面的交線是橢圓.

答案:
解析:

  證明:如下圖,在圓錐內(nèi)部嵌入Dandelin雙球,一個(gè)位于平面π的上方,一個(gè)位于平面π的下方,并且與平面π及圓錐均相切.

  當(dāng)β>α?xí)r,平面π與圓錐的交線是一個(gè)封閉曲線.

  設(shè)兩個(gè)球與平面π的切點(diǎn)分別為F1、F2,與圓錐相切于圓S1、S2

  在截口的曲線上任取一點(diǎn)P,連結(jié)PF1、PF2.過P作母線交S1于Q1,交S2于Q2,于是PF1和PQ1是從P到上方球的兩條切線,因此PF1=PQ1

  同理,PF2=PQ2,所以PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2

  由正圓錐的對稱性,Q1Q2的長度等于兩圓S1、S2所在平行平面間的平行于母線的線段的長度,與點(diǎn)P的位置無關(guān).由此可知截口的曲線是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓.

  分析:利用橢圓定義:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離和為一個(gè)定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.


練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

利用Dandelin雙球(這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部,一個(gè)位于平面π的上方,一個(gè)位于平面π的下方,并且與平面π及圓錐均相切)證明β>α,平面π與圓錐的交線為橢圓.

圖3-3-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在空間中,取直線l為軸,直線l′與l相交于O點(diǎn),其夾角為α,l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O為頂點(diǎn),l′為母線的圓錐面.任取平面π,若它與軸l交角為βπl平行,記β0),則當(dāng)?βα時(shí),平面π與圓錐的交線為橢圓.試?yán)肈andelin雙球(這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部,一個(gè)位于平面π的上方,一個(gè)位于平面π的下方,并且與平面π及圓錐均相切)證明上述結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

利用Dandelin雙球(這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部,一個(gè)位于平面π的上方,一個(gè)位于平面的下方,并且與平面π及圓錐均相切),證明β>α,平面π與圓錐的交線為橢圓.

圖3-3-4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在空間中,取直線l為軸,直線l′與l相交于O點(diǎn),其夾角為α,l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn),l′為母線的圓錐面,任取平面π,若它與軸l交角為β(π與l平行,記β=0),則當(dāng)β>α?xí)r,平面π與圓錐的交線為橢圓.試?yán)肈andelin雙球(這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部,一個(gè)位于平面π的上方,一個(gè)位于平面π的下方,并且與平面π及圓錐均相切)證明上述結(jié)論.

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