利用Dandelin雙球證明當(dāng)α<β<90°時(shí),平面π與圓錐面的交線是橢圓.
證明:如下圖,在圓錐內(nèi)部嵌入Dandelin雙球,一個(gè)位于平面π的上方,一個(gè)位于平面π的下方,并且與平面π及圓錐均相切. 當(dāng)β>α?xí)r,平面π與圓錐的交線是一個(gè)封閉曲線. 設(shè)兩個(gè)球與平面π的切點(diǎn)分別為F1、F2,與圓錐相切于圓S1、S2. 在截口的曲線上任取一點(diǎn)P,連結(jié)PF1、PF2.過P作母線交S1于Q1,交S2于Q2,于是PF1和PQ1是從P到上方球的兩條切線,因此PF1=PQ1. 同理,PF2=PQ2,所以PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2. 由正圓錐的對稱性,Q1Q2的長度等于兩圓S1、S2所在平行平面間的平行于母線的線段的長度,與點(diǎn)P的位置無關(guān).由此可知截口的曲線是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓. 分析:利用橢圓定義:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離和為一個(gè)定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是橢圓. |
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圖3-3-2
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