【題目】在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角是A，B，C的對邊分別是a，b，c，其中c=10，且 ．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）設(shè)圓O過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四邊形ABCP的面積．

【答案】
（1）證明：根據(jù)正弦定理得， ．

整理為：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

因?yàn)?＜A＜π，0＜B＜π，所以0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以A=B，或者A+B= ．

由于 ，

故△ABC是直角三角形．


（2）解：由（1）可得：a=6，b=8．

在Rt△ABC中，sin∠CAB= = ，cos∠CAB=

sin∠PAC=sin（60°﹣∠CAB）

=sin60°cos∠CAB﹣cos60°sin∠CAB

= ．

連接PB，在Rt△APB中，AP=ABcos∠PAB=5．

所以四邊形ABCP的面積

S四邊形△ABCP=S△ABC+S△PAC

=

= ．


【解析】（1）由題設(shè)條件 ．利用正弦定理可得 ，整理得討論知，A=B或者A+B= ．又 ，所以A+B= ． 由此可以得出，△ABC是直角三角形；（2）將四邊形ABCP的面積表示成兩個(gè)三角形S△ABC與S△PAC的和，S△ABC易求，S△PAC需求出線段PA的長度與sin∠PAC的值，利用三角形的面積公式求解即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦定理的定義的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:．

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【題目】設(shè)Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=2，Sn+1（Sn+1﹣2Sn+1）=3Sn（Sn+1），則a100等于（ ）
A.2×398
B.4×398
C.2×399
D.4×399

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（2）令cn=anbn ， 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn ．

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②存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)O在四面體DABC外接球的球面上；
③存在唯一的點(diǎn)D使得OD⊥平面ABC；
④存在點(diǎn)D，使得四面體DABC是正棱錐；
⑤存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D，使得AD與BC垂直且相等．
其中正確命題的序號是（把你認(rèn)為正確命題的序號填上）．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+c．
（1）當(dāng)c=19時(shí)，解關(guān)于a的不等式f（1）＞0；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求實(shí)數(shù)a，c的值．

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【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為 ，短軸長為4 ． （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線x=2與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，A、B是橢圓O上位于直線PQ兩側(cè)的動點(diǎn)，且直線AB的斜率為 ．
①求四邊形APBQ面積的最大值；
②設(shè)直線PA的斜率為k1 ， 直線PB的斜率為k2 ， 判斷k1+k2的值是否為常數(shù)，并說明理由．

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【題目】如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個(gè)新的三角形的形狀為（ ）
A.銳角三角形
B.直角三角形
C.鈍角三角形
D.由增加的長度決定

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