Question

△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，向量

p

=（1，-

3

），

q

=（cosB，sinB），且

p

∥

q

且bcosC+ccosB=2asinA，則∠C=（　　）

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

Answer 1

分析：由兩向量的坐標及兩向量平行滿足的條件列出關系式，利用同角三角形函數間的基本關系求出tanB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出B的度數，再利用正弦定理化簡已知的等式，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡后根據sinA的值不為0，求出sinA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，即可求出∠C的度數．

解答：解：∵向量

p

=（1，-

3

），

q

=（cosB，sinB），且

p

∥

q

，
∴sinB=-

3

cosB，即tanB=-

3

，
∵∠B為三角形的內角，∴∠B=120°，
把bcosC+ccosB=2asinA利用正弦定理化簡得：sinBcosC+sinCcosB=2sin²A，即sin（B+C）=sinA=2sin²A，
∵sin∠A≠0，∴sinA=

1

2

，
又∠A為三角形的內角，∴∠A=30°，
則∠C=30°．
故選A

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數量積運算，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．