Question

拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)如下：位于焦點(diǎn)F的光源所射出的光線(xiàn)FP，經(jīng)拋物線(xiàn)(在實(shí)際問(wèn)題中是旋轉(zhuǎn)拋物線(xiàn)面)上的任意一點(diǎn)p(x₀，y₀)反射后，反射光線(xiàn)PM與拋物線(xiàn)的軸平行(如圖)．試用所學(xué)知識(shí)證明這一結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

導(dǎo)思：將物理知識(shí)、代數(shù)知識(shí)、幾何知識(shí)相結(jié)合． 　　探究：根據(jù)光學(xué)中的反射原理，光線(xiàn)的反射角等于入射角，在圖1－4－3中，設(shè)PT是拋物線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)(T為切線(xiàn)與y軸的交點(diǎn))，PH⊥PT，則有∠MPH＝∠FPH．要證明反射線(xiàn)PM平行于對(duì)稱(chēng)軸(y軸)，只需證∠FTP＝∠MPN即可． 　　設(shè)拋物線(xiàn)方程為y＝ax2(a＞0)，又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3581/0139/4880198c0928a8c1756308c5a0321661/C/Image85.gif" width=17 height=21>＝2ax， 　　所以切線(xiàn)PN的斜率為2ax0，于是切線(xiàn)PN的方程為y－y0＝2ax0(x－x0)． 　　令x＝0，得y＝y(tǒng)0－2ax02＝－y0． 　　則FT＝y(tǒng)0＋． 　　所以有PF＝FT，從而∠FTP＝∠FPT． 　　又因?yàn)椤螰PT＝∠MPN， 　　所以∠FTP＝∠MPN． 　　故MP平行于y軸，這就證明了拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)．