設(shè)
為數(shù)列
的前
項和，對任意的
，都有
（
為正常數(shù)）.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列
滿足
，
，求數(shù)列的通項公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列
的前項和
.
（1）詳見解析；（2）
；（3）
.
解析試題分析：（1）利用
與之間的關(guān)系
，對分兩種情況討論，
時，求
的值，
時，利用
得出與
之間的關(guān)系，進而利用定義證明數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）在（1）的條件下求出的值，然后根據(jù)數(shù)列的遞推公式的結(jié)構(gòu)利用倒數(shù)法得到數(shù)列
為等差數(shù)列，通過求處等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的通項公式；（3）利用（2）中數(shù)列的通項公式，并根據(jù)數(shù)列的通項公式的結(jié)構(gòu)選擇錯位相減法求數(shù)列的前項和.
試題解析：（1）證明：當(dāng)時，
，解得
． 1分
當(dāng)時，
．即
． 2分
又為常數(shù)，且
，∴
． 3分
∴數(shù)列
是首項為1，公比為
的等比數(shù)列． 4分
（2）
5分 ∵
，∴
，即
． 7分
∴是首項為
，公差為1的等差數(shù)列． 8分
∴
，即
． 9分
（3）由（2）知
，則
．
所以
， 10分
即
， ① 11分
則
， ② 12分
②－①得
， 13分
故
． 14分
考點：1.利用定義證明等比數(shù)列；2.倒數(shù)法求數(shù)列的通項公式；3.錯位相減法
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對一切正整數(shù)n，點Pn(n，Sn)都在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，且在點Pn(n，Sn)處的切線的斜率為kn.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝2knan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)數(shù)列
，
，若以
為系數(shù)的二次方程:
都有根
滿足
.
（1）求證：
為等比數(shù)列
（2）求
.
（3）求的前
項和
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
為公差不為
的等差數(shù)列，
為前
項和，
和
的等差中項為
，且
．令
數(shù)列
的前項和為
．
（1）求
及；
（2）是否存在正整數(shù)
成等比數(shù)列？若存在，求出所有的
的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知
是公比為
的等比數(shù)列，且
成等差數(shù)列.
⑴求q的值；
⑵設(shè)
是以2為首項，為公差的等差數(shù)列，其前
項和為
，當(dāng)n≥2時，比較 與
的大小，并說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
公差不為零的等差數(shù)列{
}中，
，又
成等比數(shù)列.
（I） 求數(shù)列{}的通項公式.
（II）設(shè)
，求數(shù)列{
}的前n項和
.
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的前
項和
，求證：
滿足
，
，
，且
是等比數(shù)列。
的值；
；
…
中，
，求數(shù)列
的前n項和
.