Question

f（x）=x²+ax+b有兩個(gè)零點(diǎn)m，n，證明：若|a|+|b|＜1，則|m|＜1，|n|＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由函數(shù)的零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)根的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n=-a，mn=b；再利用絕對(duì)值與不等式證明出結(jié)論即可．

解答： 證明：∵f（x）=x²+ax+b有兩個(gè)零點(diǎn)m，n，
即方程x²+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)根m，n；
∴m+n=-a，mn=b；
即|m+n|=|a|，|m||n|=|b|；
又∵|a|+|b|＜1，
∴|m+n|+|m||n|=|a|+|b|＜1；
又∵|m|-|n|≤|m+n|，
∴|m|-|n|+|m||n|＜1，
∴（|m|-1）（|n|+1）＜0，
即|m|＜1，
同理|n|＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程實(shí)數(shù)根的關(guān)系以及不等式的證明問題，是綜合性題目．