Question

若a≥0，b≥0，且當(dāng)

x≥0 y≥0 x+y≤1

時(shí)，恒有ax+by≤1，求以a，b為坐標(biāo)的點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積．

Answer 1

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，要使ax+by≤1恒成立，只要ax+by的最大值不超過1即可，然后利用平移確定a，b滿足的條件，即可求出點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積．

解答：解：作出線性約束條件

x≥0 y≥0 x+y≤1

對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示，
在此條件下，要使ax+by≤1恒成立，只要ax+by的最大值不超過1即可．
令z=ax+by，則y=-

a

b

x+

z

b

．
∵a≥0，b≥0，
∴若①-1＜-

a

b

≤0時(shí)（如圖1），此時(shí)直線y=-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）時(shí)，
直線y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，對(duì)應(yīng)的z也最大，將（0，1）代入z=ax+by得b≤1，
若②-

a

b

≤-1時(shí)（如圖2），此時(shí)直線y=-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過點(diǎn)B（1，0）時(shí)，
直線y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，對(duì)應(yīng)的z也最大，將（1，0）代入z=ax+by得a≤1．
即

0≤a≤1 0≤b≤1

，此時(shí)對(duì)應(yīng)的可行域如圖，
∴以a，b為坐標(biāo)的點(diǎn)P（a，b）所形成的面積為1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題的基本方法．