Question

知a∈R，矩陣A=

1 2 a a

對應(yīng)的線性變換把點(diǎn)P（1，1）變成點(diǎn)P′（3，3），求矩陣A的特征值以及屬于沒個特征值的一個特征向量．

Answer 1

考點(diǎn)：特征值與特征向量的計算

專題：計算題

分析：解本題的突破口是由

1 2 a a

1   1

=

3   3

，得a+1=3，得到a的值，從而可得矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=

.

λ-1 -2 -2 λ-1

.

=（λ+1）（λ-3），
再令f（λ）=0，得矩陣A的特征值λ₁=-1，λ₂=3，到此問題基本得以解決．

解答： 解：由

1 2 a a

1   1

=

3   3

，得a+1=3，解得a=2
則矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=

.

λ-1 -2 -2 λ-1

.

=（λ+1）（λ-3），
令f（λ）=0，得矩陣A的特征值λ₁=-1，λ₂=3，
對于相應(yīng)的線性方程組

-2x-2y=0 -2x-2y=0

 得一個非零解

x=1 y=-1

，
故特征值為λ₁=-1，的一個特征向量為

1   -1

，
同理得到特征值為λ₂=3的一個特征向量為

1   1

．

點(diǎn)評：本題考查的是求矩陣的特征值以及特征向量問題，屬于基礎(chǔ)題．