Question

某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式y(tǒng)=

a

x-3

+10（x-6）²，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（5）=11代入函數(shù)的解析式，解關(guān)于a的方程，可得a值；
（Ⅱ）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的三次多項式函數(shù)，再用求導數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點，從而得出最大值對應的x值．

解答：解：（Ⅰ）因為x=5時，y=11，所以

a

2

+10=11，故a=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，該商品每日的銷售量y=

2

x-3

+10(x-6)2
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為
f(x)=(x-3)[

2

x-3

+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2
從而，f′（x）=10[（x-6）²+2（x-3）（x-6）]=30（x-6）（x-4）
于是，當x變化時，f（x）、f′（x）的變化情況如下表：

x	（3，4）	4	（4，6）
f'（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值42	單調(diào)遞減

由上表可得，x=4是函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，6）內(nèi)的極大值點，也是最大值點．
所以，當x=4時，函數(shù)f（x）取得最大值，且最大值等于42
答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

點評：本題函數(shù)解析式的建立比較容易，考查的重點是利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，屬于中檔題．