Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₄=16，S₅=60．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n-2b_n+3=0，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

an(n為奇數(shù)) 1 6 anbn(n為偶數(shù))

，求數(shù)列{c_n}的前2n+1項(xiàng)和P_2n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用待定系數(shù)法，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用再寫一式，兩式相減的方法求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）分組求和，即可求數(shù)列{c_n}的前2n+1項(xiàng)和P_2n+1．

解答： 解：（1）由題意，

a1+3d=16 5a1+10d=60

，得

a1=4 d=4

，∴a_n=4n．   …（3分）
∵T_n-2b_n+3=0，n=1時(shí)，b₁=2，…（4分）
n≥2時(shí)，T_n-1-2b_n-1+3=0，兩式相減，得b_n=2b_n-1…（6分）
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，∴b_n=3•2^n-1．      …（7分）
（2）c_n=

an(n為奇數(shù)) 1 6 anbn(n為偶數(shù))

=

4n，n為奇數(shù) n•2n，n為偶數(shù)

．
n為奇數(shù)時(shí)，d_n=

4+8n+4

2

(n+1)=4n²+8n+4   …（8分）
n為偶數(shù)時(shí)，M_n=2•2²+4•2⁴+…+2n•2²ⁿ，…（10分）
∴4M_n=2•2⁴+4•2⁶+…+2n•2²ⁿ⁺²…（11分）
兩式相減整理得M_n=

(3n-1)•22n+3

9

+

8

9

，
∴P_2n+1=4n²+8n+4+

(3n-1)•22n+1

9

+

8

9

=4n²+8n+

(3n-1)•22n+3

9

+

44

9

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用求和公式是關(guān)鍵．