Question

已知向量

m

=(sinx，

3

sinx)，

n

=(sinx，-cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)=

m

•

n

，若函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值，并求出此時(shí)x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，A為銳角，若f（A）-g（A）=

3

2

，b+c=7，△ABC的面積為2

3

，求邊a的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式化簡函數(shù)，再利用函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，確定g（x）的解析式，從而即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）先求A，再利用△ABC的面積，求出bc，結(jié)合余弦定理，即可求邊a的長．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=(sinx，

3

sinx)，

n

=(sinx，-cosx)，
∴函數(shù)f(x)=

m

•

n

=sin2x-

3

sinxcosx=

1

2

-sin（2x+

π

6

），
∵函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，
∴g（x）=-

1

2

-sin（2x-

π

6

），
∵x∈[-

π

4

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

2π

3

，

π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-1，

1

2

]，
∴g（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值為

3

2

，此時(shí)2x-

π

6

=-

π

2

，即x=-

π

6

；
（Ⅱ）∵f（A）-g（A）=

3

2

，∴

1

2

-sin（2A+

π

6

））+

1

2

+sin（2A-

π

6

）=

3

2

，∴cos2A=-

1

2

，
∵A為銳角，∴A=

π

3

∵△ABC的面積為2

3

，∴

1

2

bcsinA=2

3

，∴bc=8
∵b+c=7，
∴a2=b2+c2-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc=49-21=28
∴a=2

7

．

點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡與三角函數(shù)的性質(zhì)，考查余弦定理的運(yùn)用，正確化簡函數(shù)是關(guān)鍵．