Question

如圖，點P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為線段PB，PC的中點，且AD=4，PA=AB=2
（1）求直線EC和面PAD所成的角
（2）求點P到平面AFD的距離．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，求出平面PAD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線EC和面PAD所成的角
（2）確定平面AFD的法向量，利用向量公式，可求點P到平面AFD的距離．

解答：解：（1）分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2）
∴E（1，0，1），F(xiàn)（1，2，1），

EC

=(1，4，-1)
∵AB⊥平面PAD
∴平面PAD的法向量為

AB

=（2，0，0）
設直線EC與平面PAD所成的角為α，則sinα=

EC • AB

| EC || AB |

=

2

6

∴直線EC與平面PAD所成的角為arcsin

2

6

；
（2）由（1）可知

AF

=(1，2，1)，

AD

=(0，4，0)
設平面AFD的法向量為

n

=（x，y，z），點P到平面AFD的距離為d
由

AF • n =0 AD • n =0

，可得

x+2y+z=0 4y=0

，∴取

n

=（1，0，-1）
∵

AP

=(0，0，2)
∴d=

| AP • n |

| n |

=

2

．

點評：本題考查線面角，考查點到面的距離的計算，考查向量知識的運用，屬于中檔題．