Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓上、下頂點分別為B₁，B₂．橢圓上異于于B₁，B₂兩點的任一點P滿足直線PB₁，PB₂的斜率之積等于-

1

4

，且橢圓的焦距為2

3

，直線y=kx+2與橢圓交于不同兩點S，T．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求證：直線B₁S與直線B₂T的交點在一條定直線上，并求出這條定直線．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）橢圓方程可化為：

x2

b2+3

+

y2

b2

=1，設(shè)P（x，y），則

x2

b2+3

+

y2

b2

=1，利用直線PB₁，PB₂的斜率之積等于-

1

4

，可得

y+b

x

•

y-b

x

=-

1

4

，即可求C的方程；
（Ⅱ）直線y=kx+2代入橢圓方程，取特殊直線，猜想出定直線，再證明結(jié)論即可．

解答： 解：（I）由已知B₁（0，b），B₂（0，-b），
∵橢圓的焦距為2

3

，
∴橢圓方程可化為：

x2

b2+3

+

y2

b2

=1
設(shè)P（x，y），則

x2

b2+3

+

y2

b2

=1，
∵直線PB₁，PB₂的斜率之積等于-

1

4

，
∴

y+b

x

•

y-b

x

=-

1

4

，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1         …（4分）
（ II）

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，可得（1+4k²）x²+16kx+12=0，△＞0，可得k²＞

3

4

．
設(shè)S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

．

取直線y=x+2與橢圓 

x2

4

+y2=1 交于兩點S（-

6

5

，

4

5

），T（-2，0）
直線B₁S：y=

1

6

x+1，直線B₂T：y=-

1

2

x-1，兩條直線的交點為Q₁（-3，

1

2

）
取直線y=-x+2與橢圓

x2

4

+y2=1交于兩點S（

6

5

，

4

5

），T（2，0）
直線B₁S：y=-

1

6

x+1，直線B₂T：y=

1

2

x-1，兩條直線的交點為Q₂（3，

1

2

）
若交點在一條直線上則此直線只能為l：y=

1

2

．
設(shè)直線直線B₁S與直線l：y=

1

2

交點為Q₀（x₀，y₀），直線B₂T與直線l：y=

1

2

交點為Q₀′（x₀′，y₀′），
直線B₁S：y=

y1-1

x1

+1，B₂T：y=

y2+1

x2

-1，
分別令y=

1

2

，可得Q₀（

1

2

•

x1

y1-1

，

1

2

），Q₀′（

3

2

•

x2

y2+1

，

1

2

），
∴x₀-x₀′=

1

2

••

x1

y1-1

-

3

2

•

x2

y2+1

=0
∴點Q₀（x₀，y₀）與Q₀′（x₀′，y₀′）重合，
∴交點在直線l：y=

1

2

上…（12分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．