Question

設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.

(1)求的值;

(2) 若，恒成立，求的范圍.

(3)求證：

 

Answer 1

【答案】

(1) 0. (2)  .

(3) 結(jié)合（2）時(shí),成立.令

得到，

  

累加可得.

【解析】

試題分析：(1)求導(dǎo)數(shù)，并由得到的值; (2)恒成立問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題.本題中設(shè)，即轉(zhuǎn)化成.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值可得.

(3) 結(jié)合（2）時(shí),成立.令得到，

  

累加可得.

試題解析：(1)            2分

由題設(shè)，

，.                     4分

 (2) ,，，即

設(shè)，即.

                   6分

①若，，這與題設(shè)矛盾.         8分

②若方程的判別式

當(dāng)，即時(shí)，.在上單調(diào)遞減，

，即不等式成立.                                             9分

當(dāng)時(shí)，方程，其根，，

當(dāng),單調(diào)遞增，，與題設(shè)矛盾.

綜上所述， .                               10分

(3) 由(2)知,當(dāng)時(shí), 時(shí),成立.

 不妨令

所以，

           11分

              12分

累加可得

            14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.