Question

（本小題滿分13分）已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，且橢圓上一點(diǎn)到其兩焦點(diǎn)的距離之和為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，且．若點(diǎn)滿足，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）－3或－1

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知，，于是b＝2，即得橢圓方程；（Ⅱ）點(diǎn)為線段的中垂線與直線的交點(diǎn)，先求出m＝±2，然后分別寫(xiě)出AB的中垂線，令y＝2即得x0的值.

試題解析：（Ⅰ）由已知得，又．

∴．

∴橢圓的方程為． 4分

（Ⅱ）由得 ① 1分

∵直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、，∴△，

得．

設(shè)，，則，是方程①的兩根，

則， ．

∴．

又由，得，解之． 3分

據(jù)題意知，點(diǎn)為線段的中垂線與直線的交點(diǎn)．

設(shè)的中點(diǎn)為，則，，

?當(dāng)時(shí)，

∴此時(shí)，線段的中垂線方程為，即．

令，得． 2分

?當(dāng)時(shí)，

∴此時(shí)，線段的中垂線方程為，即．

令，得． 2分

綜上所述，的值為或．

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量