Question

（2013•臨沂三模）已知直線l：y=x+

6

，圓O：x²+y²=5，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

3

，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓右焦點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點．
（1）若

AF

=2

FB

求直線l的方程；
（2）若動點P滿足

OP

=

OA

+

OB

，問動點P的軌跡能否與橢圓C存在公共點？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，由點到直線的距離公式可得圓心O到直線l的距離為d=

3

，利用勾股定理可求得b值，根據(jù)b值，

c

a

=

3

3

，a²=b²+c²可求得a；
（Ⅱ）（1）易判斷l(xiāng)斜率不為0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AF

=2

FB

，可得y₁=-2y₂①，設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓消掉x得y的二次方程，由韋達定理及①可用m表示y₁，y₂，代入y1y2=

-4

2m2+3

，得-

8m

2m2+3

×

4m

2m2+3

=-

4

2m2+3

，解出m，從而得到直線l的方程；（2）問題等價于在橢圓上是否存在點P，使得

OP

=

OA

+

OB

成立．易判斷直線斜率不為0，設(shè)直線l的方程為x=my+1，由（1）的設(shè)法可得P（x₁+x₂，y₁+y₂），若點P在橢圓C上，可得

x12+2x1x2+x22

3

+

y12+2y1y2+y22

2

=1，再由點A，B在橢圓上，可得2x₁x₂+3y₁y₂+3=0②，代入韋達定理可得m的方程，解出m，進而可求出點P的坐標，得到結(jié)論；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，圓心O到直線l的距離為d=

6

1+1

=

3

，
∴b=

5-3

=

2

．由題意得  

c a = 3 3 a2=b2+c2 b= 2

，解得a²=3，b²=2．
故橢圓C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）（1）當直線l的斜率為0時，檢驗知

AF

≠2

FB

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

AF

=2

FB

，得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂），則有y₁=-2y₂①，
設(shè)直線l：x=my+1，聯(lián)立

x=my+1 x2 3 + y2 2 =1

消去x，整理得（2m²+3）y²+4my-4=0．
∴y1+y2=-

4m

2m2+3

，y1y2=

-4

2m2+3

．
結(jié)合①，得y1=-

8m

2m2+3

，y2=

4m

2m2+3

．
代入y1y2=

-4

2m2+3

，得-

8m

2m2+3

×

4m

2m2+3

=-

4

2m2+3

，即

8m2

2m2+3

=1，解得m=±

2

2

，
故直線l的方程是x=±

2

2

y+1．
（2）問題等價于在橢圓上是否存在點P，使得

OP

=

OA

+

OB

成立．
當直線l的斜率為0時，可以驗證不存在這樣的點，故設(shè)直線l的方程為x=my+1，
用（1）的設(shè)法，可得P（x₁+x₂，y₁+y₂）．
若點P在橢圓C上，則

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1，即

x12+2x1x2+x22

3

+

y12+2y1y2+y22

2

=1．
又點A，B在橢圓上，有

x12

3

+

y12

2

=1，

x22

3

+

y22

2

=1，
則

2

3

x1x2+y1y2+1=0，即2x₁x₂+3y₁y₂+3=0②，
由（1）知x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=-

8m2

2m2+3

+1，
代入②式得-

16m2

2m2+3

+2-

12

2m2+3

+3=0，解得m2=

1

2

，即m=±

2

2

．
當m=

2

2

時，y1+y2=-

4m

2m2+3

=-

2

2

，x1+x2=m(y1+y2)+2=-

1

2

+2=

3

2

；
當m=-

2

2

時，y1+y2=-

4m

2m2+3

=

2

2

，x1+x2=m(y1+y2)+2=-

1

2

+2=

3

2

．
故橢圓C上存在點P(

3

2

，±

2

2

)，使得

OP

=

OA

+

OB

成立，即動點P的軌跡與橢圓C存在公共點，公共點的坐標是(

3

2

，±

2

2

)．

點評：本題考查直線方程、橢圓方程及性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、平面向量等知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強，能力要求較高．