Question

已知圓過點(diǎn)，，并且直線平分圓的面積．

（1）求圓的方程；

（2）若過點(diǎn)，且斜率為的直線與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．

①求實(shí)數(shù)的取值范圍； ②若，求的值．

 

Answer 1

（1）；（2）①：實(shí)數(shù)的取值范圍是，②：.

【解析】

試題分析：（1）由題意直線平分圓的面積可知圓心在直線上，因此可將的坐標(biāo)設(shè)為，再由圓過點(diǎn)，可知，即可得到關(guān)于的方程：

，解得，即有圓心坐標(biāo)，半徑，從而可知圓的方程為；（2）①：根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為，代入圓方程并化簡(jiǎn)可得，從而直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不想等的實(shí)數(shù)根，從而，②：由題意可知若設(shè)設(shè)，，則，為方程的兩根，從而，，，因此可以由得到關(guān)于的方程：，即.

試題解析：（1）∵平分圓的面積，∴圓心在直線上，∴設(shè)，又∵圓過點(diǎn)，，

∴，即，∴，半徑，

∴圓的方程為； 4分；

①：設(shè)直線的方程為，代入并化簡(jiǎn)可得：，

∵直線與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，∴，

即實(shí)數(shù)的取值范圍是， 4分

②：設(shè)，，由①可知，，

∴，

∴，

∴. 4分

考點(diǎn)：1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與圓的位置關(guān)系；3.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.