定義在R上的單調函數(shù)f(x)滿足f(3)＝log23且對任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求證f(x)為奇函數(shù)；

(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

答案：
解析：

　　(1)證明：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，①

　　令x＝y(tǒng)＝0，代入①式，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0．

　　令y＝－x，代入①式，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，

　　則有0＝f(x)＋f(－x)．即f(－x)＝－f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù)．

　　

　　說明：問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質．f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù)，把問題轉化成二次函數(shù)f(t)＝t2－(1＋k)t＋2對于任意t＞0恒成立．對二次函數(shù)f(t)進行研究求解．本題還有更簡捷的解法：

　　分離系數(shù)由k·3＜－3＋9＋2

　　得

　　


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

15、已知定義在R上的單調函數(shù)f（x）滿足：存在實數(shù)x0，使得對于任意實數(shù)x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立，則（i）f（1）+f（0）=
0
（ii）x0的值為
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的單調函數(shù)滿足f（-3）=2，，且對任意的實數(shù)a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立．
（Ⅰ）試判斷f（x）在R上的單調性，并說明理由；
（Ⅱ）解關于x的不等式f(
2-xx
)＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的單調函數(shù)f（x）滿足f(2)=
32
，且對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）若f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的單調函數(shù)y=f（x），當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并寫出適合條件的函數(shù)f（x）的一個解析式；
（2）數(shù)列{an}滿足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)，
①求通項公式an的表達式；
②令bn=(
1
2
)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，試比較Sn與
4
3
Tn的大小，并加以證明；
③當a＞1時，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(log a+1x-log ax+1)對于不小于2的正整數(shù)n恒成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州三模）已知定義在R上的單調函數(shù)f（x），存在實數(shù)x0使得對任意實數(shù)x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且對任意的正整數(shù)n．有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比較
4
3
Sn與Tn的大小關系，并給出證明．

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